Kärsämäen Froteruksen koulun oppilas, Erkka Oikarinen, oli hiljattain TET-jaksollaan Oulu yliopistossa. Matemaattisten tieteiden tutkimusyksikössä työelämään tutustunut Erkka ideoi ja toteutti joulukalenterin, joka on julkaistu Pyhäjokiseudun verkossa.
Laitamme tehtävät myös tänne joulupyhinä ratkottaviksi.
Oikarinen oli TET-viikollaan yliopisto-opettaja Piia Haapsaaren luona. Viikon aikana syntyi oivaltava ja monipuolinen tehtäväpatteristo, jonka Erkka on omatoimisesti toteuttanut.
Oikeat vastaukset julkaistaan nyt kunkin tehtävän yhteydessä.
Tehtävä 24: Seuraava kuvio
Mikä kuvio tulee seuraavaksi?
RATKAISU: Kuviot ovat numeroita (1-5), jotka ovat peilattu vasemmalta puolelta (ylhäällä ja alhaalla olevat viivat peittävät joidenkin numeroiden osia), joten seuraavaksi tulee 6 peilattuna vasemmalta puolelta kahden viivan välissä.
Tehtävä 23: Neliö
Väritä puolet tästä kuviosta niin, että värittämätön alue on neliö (kaikki sivut yhtä pitkiä).
RATKAISU: Tehtävän voi ratkaista tällä tavalla.
Tehtävä 22: Alkuluvut II
Alkuluku on luku, joka on jaollinen vain itsellään ja luvulla yksi (huomaa, että 1 ei ole alkuluku).
Mikä on ensimmäisen 9 alkuluvun summa (2+3+5+7+...)
RATKAISU: laskemalla saadaan 2+3+5+7+11+13+17+19+23 = 100.
Tehtävä 21: Alkuluvut II
Alkuluku on luku, joka on jaollinen vain itsellään ja luvulla yksi (huomaa, että 1 ei ole alkuluku).
Mikä on ensimmäisen 9 alkuluvun summa (2+3+5+7+...)
RATKAISU: Jos ainakin kahdella nopalla on sama lukema, kaikilla nopilla ei ole eri lukema, eli jos laskee tavat, että kaikilla nopilla on eri lukema, mikä on 6*5*4 = 120, mahdollisuus, että niin ei tapahdu on (6*6*6-120)/(6*6*6) = 96/216 = 4/9 ≈ 44,4 %.
Tehtävän voi myös ratkaista tällä tavalla:
On 6*1*6 = 36 eri tapaa, että kahdella ensimmäisellä nopalla on sama lukema (ensimmäinen voi olla mikä tahansa, toisen pitää olla sama kuin ensimmäinen ja kolmas voi olla mikä tahansa). On yhtä monta tapaa, että ensimmäisellä ja kolmannella nopalla tai toisella ja kolmannella nopalla on sama lukema. Tässä kuitenkin lasketaan kolmesti kaikki lopputulokset, joissa kaikilla nopilla on sama lukema, eli pitää vähentää lopputuloksesta 6*2 = 12. On siis 3*36-12 = 96 tapaa saada kaksi samaa lukemaa, joten todennäköisyys on 96/(6*6*6) = 96/216 = 4/9 ≈ 44,4 %.
Tehtävä 20: Eulerin polku
Eulerin polku (nimetty sveitsiläisen Leonhard Eulerin mukaan) on reitti, joka kulkee jokaisen pisteiden (solmujen) välisten viivojen (kaarten) kautta.
Piirrä reitti, joka kulkee jokaisen viivan yli ilman, että nostat kynää. Jokaista viivaa saa käyttää vain kerran, mutta pisteen kautta saa mennä monta kertaa.
Leonhard Euler oli sveitsiläinen matemaatikko, joka ratkaisi (muun muassa) Köningsbergin silta-ongelman, jossa piti mennä jokaisen Köningsbergissä olevan sillan yli ilman että ylittää saman sillan monta kertaa tai ylittää joen muulla tavalla. Euler ratkaisi tämän ongelman osoittamalla sen mahdottomaksi. (Älä huoli, ylhäällä oleva pulma on silti mahdollinen!)
RATKAISU: Ratkaisuja on monta, riittää vain, että aloittaa pisteestä, jossa on pariton määrä viivoja yhdistynyt. Yksi ratkaisu näkyy tässä.
Tehtävä 19: Nopat
Jos heität kaksi reilua kuusi-sivuista noppaa (normaalia noppaa), mikä on todennäköisyys, että noppien lukemien summa on jaollinen kahdella tai kolmella?
RATKAISU: Tehdään taulukko, jossa on kaikki mahdolliset tulokset. Luvut, jotka ovat jaollisia kahdella tai kolmella on värjätty punaisella. Näitä lukuja on 24 ja lukuja on yhteensä 36 eli todennäköisyys, että luku on jaollinen kahdella tai kolmella on 24/36 = 2/3 ≈ 66,7%.
Tehtävä 18: Kissojen ja koirien saari II
Olet vierailemassa puhuvien kissojen ja koirien saarella. Koirat aina puhuvat totta ja kissat aina valehtelevat. Joskus kissat ja koirat saattavat pukeutua toisikseen (kissa koiraksi tai koira kissaksi), joten et voi aina tietää, onko jokin eläin kissa vai koira.
Sinut on kutsuttu juhliin ja haluat tietää kuinka monta kissaa juhlissa on, joten kysyt jokaiselta 20 juhlissa-kävijältä: “Kuinka monta kissaa juhlissa on?”
Ensimmäinen eläin vastaa “yksi”, toinen vastaa “kaksi”, kolmas vastaa “kolme” ja niin edelleen.
Ketkä juhlassa-kävijöistä ovat kissoja?
RATKAISU: Koska juhlassa-kävijät sanovat eri asioita, maksimissaan yksi heistä voi olla koira. Jos kukaan ei ole koira 20. juhlassa kävijä puhuisi totta, joka on mahdotonta sillä sen pitäisi olla kissa. Tiedetään, että juhlassa on yksi koira, joten ainoastaan 19. juhlassa kävijä puhuu totta ja on koira.
Tehtävä 17: Salakirjoitus III
Ratkaise salakirjoitus.
1 14 20 1 1 10 15 21 12 21 14 20 21 12 12 1 10 1 13 5 14 14 1, 19 5 15 14 11 21 9 20 5 14 11 9 14 10 15 21 12 21 14 1 9 11 1 1.
Vihje: jokainen luku vastaa yhtä kirjainta.
RATKAISU: Jos sijoittaa luvun tilalle vastaavan kirjaimen (1→a, 2→b, 3→c…) saadaan Antaa joulun tulla ja mennä, on se kuitenkin joulun aikaa.
Tehtävä 16: Toinen salakirjoitustehtävä
Ratkaise salakirjoitus käyttäen kuvaa apuna.
RATKAISU: Kun sijoittaa kirjaimet kuvioiden tilalle, saadaan mukavaa joulua.
Tehtävä 15: Salakirjoitus
Oheinen salakirjoitus on tehty siirtämällä jokaista kirjainta 3 eteenpäin aakkosissa (esim. a→d, m→p, ä→b) ratkaise, mitä salakirjoituksessa lukee siirtämällä kirjaimet takaisin.
mrxox mxkolvwd mdorlq
RATKAISU: Kun siirtää kirjaimet takaisin, saadaan joulu juhlista jaloin.
Tehtävä 14: Kissojen ja koirien saari
Olet vierailemassa puhuvien kissojen ja koirien saarella. Koirat aina puhuvat totta ja kissat aina valehtelevat. Joskus kissat ja koirat saatavat pukeutua toisikseen (kissa koiraksi tai koira kissaksi), joten et voi aina tietää, onko jokin eläin kissa vai koira.
Löydät kolme koiralta näyttävää eläintä, jotka sanovat:
Koira 1: “ Koira 3 puhuu totta.”
Koira 2: “Vierelläni on yksi koira ja yksi kissa.”
Koira 3: “Koira 1 puhuu totta.”
Olet kuitenkin varma, että ainakin yksi näistä kolmesta on koira. Jos olre oikeassa, kuka tai ketkä ovat oikeasti kissoja?
RATKAISU: 1 ja 3 ovat joko molemmat koiria tai molemmat kissoja, joten 2 valehtelee eli on kissa. Koska pitää olla ainakin yksi koira, 1 ja 3 ovat koiria.
Tehtävä 13: Sadan summa II
Ratkaise summa: 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... -98 + 99 - 100.
RATKAISU: Lasku tulee helpommaksi ,jos ryhmittää sen näin: (1-2)+(3-4)+(5-6)+...+(97-98)+(99-100)=50*(-1)=-50
Tehtävä 12: Yhtälö todeksi
Siirrä kaksi tikkua niin, että yhtälö on tosi. (Et saa käyttää erisuuri kuin-merkkiä ≠)
RATKAISU: Siirtämällä kaksi tikkua voi tehdä yhtälön 13+1=14, joka on tosi.
Tehtävä 11: Jono
Mikä on 15. jäsen lukujonossa
1, 2, 4, 8, 16,...
RATKAISU: n:s jäsen lukujonossa on 2^(n-1), joten 15. jäsen lukujonossa on 2^14 = 16384.
Tehtävä 10: Kiireinen tonttu
Tontulla on kiire ja hän tulee portaikkoon, jossa on kymmenen askelta. Tonttu aloittaa ennen ensimmäistä porrasta ja voi hypätä yksi tai kaksi porrasta ylöspäin. Kuinka monta eri tapaa tontulla on päästä portaitten yläpäähän (10.portaalle)?
Vihje: Kannattaa aloittaa miettimällä, miten tonttu voi päästä ensimmäiselle, toiselle tai kolmannelle portaalle ja niin edelleen.
RATKAISU: Tontulla on 1 tapa päästä ensimmäiselle portaalle, 2 tapaa päästä toiselle portaalle ja 3 tapaa päästä kolmannelle portaalle. Että tonttu voi päästä seuraavalle portaalle, hän voi hypätä edelliseltä portaalta tai kahden portaan päästä, joten on yhtä monta tapaa päästä portaalle kuin kahdelle sen edelliselle yhteensä. Voi huomata, että tämä on sama kuin Fibonaccin lukujono (jossa termi on aina kahden aikaisemman termin summa):
(0, 1,) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 54, 75, 134
Kymmenes porras on alleviivattu, eli tontulla on 134 eri tapaa päästä 10. portaalle.
Tehtävä 9: Alkuluvut
Alkuluku on luku, joka on jaollinen vain itsellään ja luvulla yksi (huomaa, että 1 ei ole alkuluku).
Mikä on 10. alkuluku? Entä mikä on 15. alkuluku? Tai 20. alkuluku?
RATKAISU: ensimmäiset 20 alkulukua ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71. Lihavoituina on 10. 15. ja 20. alkuluku.
Tehtävä 8: Tikkuset
Siirrä vain yksi tikku, että tikuista muodostuu neliö.
RATKAISU: Siirrä vasen tikku todella vähän vasemmalle niin, että tikkujen päädyt muodostavat neliön.
Tehtävä 7: Sadan summa
Laske summa 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 +100.
RATKAISU: Lasku tulee helpommaksi, jos ryhmittää sen näin: (1+100)+(2+99)+...+(49+52)+(50+51)=50*101=5050
Tehtävä 6: Mystiset numerot
Cecilia antaa Aarolle ja Benjaminille numeron yhdestä viiteen. Numeroita ei kerrota toisille. Aarolla ja Benjaminilla on täydellinen päättelykyky ja he tietävät, että toisellakin on täydellinen päättelykyky.
Aaro sanoo: ”Minä en tiedä, kumman numero on suurempi”.
Jonka jälkeen Benjamin sanoo: ”Minäkään en tiedä, kumman numero on suurempi”.
Mikä on Benjaminin numero?
RATKAISU: Jos Aarolla olisi 1 tai 5, hän tietäisi, kumman numero on suurempi, mutta hän ei tiedä, joten hänellä ei voi olla 1 tai 5. Sama pätee Benjaminille, mutta Benjamin tietää, että Aarolla ei voi olla 1 tai 5, joten Benjaminilla ei voi olla 2 tai 4. Ainoa numero jäljellä on 3, joten sen on pakko olla Benjaminin numero.
Tehtävä 5: Koira, sika ja leipä
Maanviljelijä haluaa kuljettaa leipälaatikon, koiran ja sian suuren ojan yli. Ojan yli täytyy mennä veneellä, johon mahtuu maanviljelijän lisäksi vain yksi muu kulkija. Jos sika ja leipälaatikko ovat samalla puolella jokea ilman maanviljelijää, sika syö leivät. Jos sika ja koirat ovat kahdestaan samalla puolella jokea ilman maanviljelijää, koira syö sian. Miten maanviljelijä voi saada kaikki kolme ojan toiselle puolelle?
RATKAISU: Tämän tehtävän voi ratkaista esimerkiksi näin: Vie sika toiselle puolelle, palaa takaisin ilman sikaa, vie koira toiselle puolelle, vie sika takaisin, vie leipä toiselle puolelle, palaa hakemaan sika ja vie se toiselle puolelle.
Tehtävä 4: Puuttuva numero
Mikä numero kuuluu tyhjään laatikkoon?
RATKAISU: Laatikot ovat ylösalaisin, joten numerot oikeasti menevät 86,__, 88, 89, 90, 91 ja tyhjään kohtaan kuuluu 87.
Tehtävä 3: Kolmiot
Käännä kolmio ylösalaisin siirtämällä vain kolmea kiekkoa.
RATKAISU: Jos siirtää kiekon a kiekon h vasemmalle puolelle, kiekon d kiekkojen b ja c alapuolelle ja kiekon j kiekon i oikealle puolelle, kolmio kääntyy ylösalaisin.
Tehtävä 2: Suorat viivat
Piirrä neljä suoraa viiva niin, että kuljet jokaisen pisteen kautta ilman, että nostat kynää paperista.
RATKAISU: Kuva tehtävän alla.
Tehtävä 1: Lakit sekaisin
Kuinka monella eri tavalla voi järjestää nämä viisi tonttulakkia.
(Huomaa, että on kaksi punaista, joten niiden kahden järjestyksellä ei ole väliä.)
RATKAISU: Viidellä erilaisella lakilla on viiden kertoma eli 5! = 5*4*3*2*1 = 120 eri tapaa järjestää ne, mutta koska kaksi lakkia ovat samanlaisia pitää jakaa tulos kahden kertomalla 2! = 2*1 = 2 eli tapoja järjestää lakit on 120/2 = 60.
